지식인 답변을 하나 작성 하다가 쓸데없이(?) 증명 까지 해버린 문제가 하나 있었다..
SAT수학을 가르치다가도 비슷한 문제가 있던 기억이 있기에 여기에 옮겨 본다.
SAT수학을 가르치다가도 비슷한 문제가 있던 기억이 있기에 여기에 옮겨 본다.
Q: 어떤수 x 를 4로 나누면 2가 남고, 5로 나누면 3이 남고, 6으로 나누면 4가 남는다. x 를 만족하는 가장 작은 자연수를 구하여라.
A: 간단히 4,5,6 의 최소 공배수인 60 에 2 를 뺀 58 이 답이다.
여기서
4로 나누면 2가 남고 -> 4-2 = 2
5로 나누면 3이 남고 -> 5-2 = 3
6으로 나누면 4가 남고 -> 6-2 = 4
즉, 나누는 수와 나머지의 차가 2로 항상 일정 하다는걸 알수있다.
4로 나누면 2가 남고 -> 4-2 = 2
5로 나누면 3이 남고 -> 5-2 = 3
6으로 나누면 4가 남고 -> 6-2 = 4
즉, 나누는 수와 나머지의 차가 2로 항상 일정 하다는걸 알수있다.
문제를 다시 쓰면,
어떤수 x 를 a 로 나누면 나머지가 a-k, b 로 나누면 b-k, c 로 나누면 c-k 인 가장 작은 자연수 x를 구하라고 하면,
여기서 l,m,n 을 임의의 자연수라고 하면
x = a*l + a-k = a(l+1) - k
=> x + k = a * l
x = b*m + b-k = b(m+1) - k
=> x + k = b * m
x = c*n + c-k = c(n+1) - k
=> x + k = c * n
(다른 알파벳 쓰기 싫어서 중간에 l=l+1, m = m+1, n=n+1이라 했다)
즉, x+k 는 a 의 배수이면서 b의 배수 이면서 c 의 배수 임을 알수 있다.
고로, x+k 는 a,b,c 의 공배수가 되고
x 는 a,b,c 의 공배수에서 k 를 빼면 되는것이다.
어떤수 x 를 a 로 나누면 나머지가 a-k, b 로 나누면 b-k, c 로 나누면 c-k 인 가장 작은 자연수 x를 구하라고 하면,
여기서 l,m,n 을 임의의 자연수라고 하면
x = a*l + a-k = a(l+1) - k
=> x + k = a * l
x = b*m + b-k = b(m+1) - k
=> x + k = b * m
x = c*n + c-k = c(n+1) - k
=> x + k = c * n
(다른 알파벳 쓰기 싫어서 중간에 l=l+1, m = m+1, n=n+1이라 했다)
즉, x+k 는 a 의 배수이면서 b의 배수 이면서 c 의 배수 임을 알수 있다.
고로, x+k 는 a,b,c 의 공배수가 되고
x 는 a,b,c 의 공배수에서 k 를 빼면 되는것이다.
반대로, 어떤수 x 를 a 로 나누면 나머지가 k, b 로 나누면 k, c 로 나누면 k 인 가장 작은 자연수 x를 구하라고 하면 어떻게 될까?
마찬가지로 다시 x 를
x = al + k
=> x - k = al
x = bn + k
=> x - k = bn
x = cm + k
=> x - k = cm
이번엔 x-k 가 a,b,c,의 공배수가 됨을 알수 있다
즉 x는 a,b,c 의 공배수 +k 가 되는것이다.
마찬가지로 다시 x 를
x = al + k
=> x - k = al
x = bn + k
=> x - k = bn
x = cm + k
=> x - k = cm
이번엔 x-k 가 a,b,c,의 공배수가 됨을 알수 있다
즉 x는 a,b,c 의 공배수 +k 가 되는것이다.
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